A bela Lemniscata

A Lemniscata de Bernoulli é a curva algébrica do quarto grau de equação cartesiana:

A lemniscata também pode ser descrita pelas coordenadas polares abaixo,

pela respectivas coordenadas bipolares,

ou pela equação paramétrica:

A curva tem a forma similar ao numeral 8 e o símbolo de infinito ().

A lemniscata foi descrita primeiramente por Jakob Bernoulli em 1694 como uma modificação da elipse, que é o lugar geométrico de pontos para qual a soma das distâncias para cada um de dois focos fixos é uma constante. A oval de Cassini, por sua vez, é o lugar de pontos para os quais o produto destas distâncias é constante. No caso onde a curva atravessa o ponto no meio caminho entre os focos, a oval é uma lemniscata de Bernoulli.

Os seis problemas do milênio

Já pensou em ganhar muito dinheiro com a matemática? É, isso é possível.

Atualmente existem seis problemas abertos em matemática que ao serem resolvidos garantem, a quem resolver, o prêmio de 1 milhão de dólares. Se você tem interesse em resolver problemas complicados sinta-se a vontade para solucioná-los.

Os problemas são:

1 - A hipótese de Riemann
2 - Teoria de Yang-Mills e a Hipótese da Lacuna de Massa
3 - O problema P versus NP
4 - As equações de Navier-Stokes
5 - A conjectura de Birch e Swinnerton-Dyer
6 - A conjectura de Hodge


Descrição dos problemas acima:

• A hipótese de Riemann é uma hipótese matemática, publicada pela primeira vez em 1859 por Bernhard Riemann, que declara que os zeros não-triviais da função zeta de Riemann pertencem todos à "linha crítica":

  

  onde denota a parte real de s.

  Os zeros triviais da função zeta de Riemann são os inteiros negativos pares -2,-4,-6,...

  A hipótese de Riemann sobre os números primos é de tal importância que tem intrigado os matemáticos há mais de 150 anos.

• A Teoria de Yang-Mills é um dos problemas do milênio, ele pode ser resumido como: prove que para qualquer grupo gauge compacto simples, as equações quânticas de Yang-Mills no espaço euclidiano quadridimensional têm uma solução que prevê uma lacuna de massa.

• O problema P versus NP, de forma simplificada, pergunta se existem problemas matemáticos cuja resposta pode ser verificada em tempo polinomial, que não possam ser resolvidos (diretamente, sem se ter um candidato à solução) em tempo polinomial. Ilustrando: se alguém lhe disser que o número 13.717.421 pode ser escrito como o produto de dois outros inteiros, você provavelmente demorará para provar isso; contudo, se lhe assoprarem que ele é o produto de 3.607 por 3.803, você seria capaz de muito rapidamente verificar tal fato.

  O problema "P versus NP" parte da constatação que são muito frequentes as situações em que parece ser muito mais rápido verificar solução do que achar um processo de resolução, e então pergunta: isso sempre ocorre, ou simplesmente ainda não descobrimos um modo de resolvê-los rapidamente?

• As equações de Navier-Stokes foram denominadas assim após Claude-Louis Navier e George Gabriel Stokes desenvolverem um conjunto de equações que descreveriam o movimento das substâncias fluidas tais como líquidos e gases. Estas equações estabelecem que mudanças no momento e aceleração de uma partícula fluída são simplesmente o produto (resultado) das mudanças na pressão e forças viscosas dissipativas (similar a fricção) atuando em dentro do fluido.

• A conjectura de Birch e Swinnerton-Dyer O último problema do milênio é um parente do Último Teorema de Fermat, aquele que levou mais de 300 anos para ser demonstrado e acabou sendo vencido pelo inglês Andrew Wiles em 1993 (a demonstração estava incompleta, mas, pouco tempo depois, Wiles conseguiu apresentar uma prova correta). O Último Teorema de Fermat diz que equações do tipo xⁿ + yⁿ = zⁿ só têm soluções x, y e z se n = 2. Traduzindo: um número elevado ao quadrado pode ser igual à soma de dois quadrados, mas nenhum número ao cubo é a sorna de dois cubos, nenhum número à quarta é a soma de dois números à quarta e assim por diante. De modo mais geral, foi provado, em 1970, que não existe um método para saber quando equações semelhantes às do Último Teorema de Ferrnat têm ou não solução (esse, aliás, era o décimo problema que Hilbert apresentou em 1900). " Mas, em casos especiais, é possível afirmar alguma coisa", diz Wiles em sua apresentação a esse problema do milênio. A conjectura de Birch e Swinnerton-Dyer tenta justamente descrever alguns desses casos.

• A conjectura de Hodge Uma das maiores diversões dos matemáticos é tentar encontrar relações entre teorias que aparentemente nada têm a ver uma com a outra. A geometria, estudo de formas como círculos, triângulos ou retângulos, ganhou um novo fôlego quando René Descartes descobriu que as formas geométricas poderiam ser descritas por fórmulas ou equações da álgebra, capazes de representar os pontos em um plano, depois batizado de plano cartesiano. Desde então, o casamento da geometria com a álgebra, que gerou o cálculo, tem sido um dos mais frutíferos da matemática. Em 1950, no Congresso Internacional de Matemática, o americano William Vallance Douglas Hodge (1903- 1975) fez uma apresentação que promete levar esse casamento ainda além. Hodge sugeriu que as equações capazes de descrever determinados formatos cíclicos em várias dimensões poderiam ser geradas a partir de formas geométricas mais simples, similares a curvas. Se isso soa muito complicado, não desanime. A conjectura de Hodge, se provada, trará mais gente para a família, fundindo topologia, cálculo, geometria e álgebra. Seu impacto no futuro poderá ser ainda maior que o do plano cartesiano, que todo aluno do ensino médio precisa enfrentar. (Para quem já esqueceu, o plano cartesiano compõe-se de uma reta horizontal, o eixo x, e outra vertical, o eixo y, que se cortam num ponto.) Quem sabe, daqui a 50 anos Hodge não será assunto de sala de aula e algum aluno do colegial não será capaz de levar para casa 1 milhão de dólares?

Se esse, ou algum dos outros Problemas do Milênio apresentados acima, continuará em aberto nos próximos 300 anos, ninguém sabe. Quem sabe, o prêmio acabe acelerando as coisas. Vamos tentar!

PARIS, PRIMEIRO LUGAR MUNDIAL EM MATEMÁTICA

“Paris é, sem comparação com nenhuma outra cidade do planeta, o principal lugar do mundo em
matemática. Em álgebra, geometria ou análise, podem-se encontrar na capital francesa e em suas
redondezas professores e pesquisadores de nível internacional, seminários totalmente dignos do paísque os acolhe.”

Essa constatação pode ser percebida nas palavras do prof. Dr. Jacob Palis Júnior, pesquisador no Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada - IMPA, vice-presidente da Academia Brasileira de Ciências - ABC e associado estrangeiro da Academia francesa de Ciências.

Segundo ele:

O brilho da contribuição francesa à matemática é extraordinário e único, e torna-se ainda mais excepcional quando se considera sua relativamente reduzida dimensão numérica quando comparada às de outros países. Neste sentido não chega a ser uma grande surpresa que um quarto dos matemáticos que tenham sido destinguidos com a Medalha Fields tenham sido
franceses. Também o primeiro laureado com o recém e importante Prêmio Abel foi o francês Jean-Pierre Serre, que havia ganho a Medalha Fields em 1954, com menos de 30
anos de idade.

Acrescento ainda que concordo com Marcelo Berger quando coloca Paris como a Cidade Luz da matemática mundial. Sobretudo na primavera, o mundo matemático, pelo menos no que ele tem de mais relevante e criativo, parece deslocar-se anualmente em direção a ela.

A matemática atual e seus novos campos de aplicação

Um estudo franco-americano demonstrou recentemente que aplicando modelos matemáticos à complexa rede dos transportes aéreos é possível compreender melhor a propagação de epidemias potenciais.

• A meteorologia depende da matemática, indispensável para conhecer os mecanismos, analisar e prever o tempo e as evoluções climáticas.
  
• Em economia, as teorias probabilísticas permitem rastrear até os delitos de alguns especialistas na flutuação das cotações da Bolsa.
• Na informática, a matemática está presente na programação, no estudo do comportamento dos sistemas operacionais, no cálculo para descrever o funcionamento dos hardware e etc.